Question

（1）若函数f(x)=ax²-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；

（2）若函数f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）a=0或a=-（2）a的取值范围是（-4,0）

解析:

（1）若a=0，则f(x)=-x-1,

令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意；                               2分

若a≠0，则f(x)=ax²-x-1是二次函数，

故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，解得a=-，                      4分

综上所述a=0或a=-.                                         6分

（2）若f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，

即|4x-x²|+a=0有四个根，即|4x-x²|=-a有四个根.                    8分 

令g(x)=|4x-x²|,h(x)=-a.

作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x²|=-a有四个根，                       

那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点.                                 12分

故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.

∴a的取值范围是（-4,0）.                                         14分