Question

已知f（x）=log₂（x+m），m∈R
（1）如果f（1），f（2），f（4）成等差数列，求m的值；
（2）如果a，b，c是两两不等的正数，且a，b，c依次成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由f（1），f（2），f（4）成等差数列，知f（1）+f（4）=2f（2）．所以m²+5m+4=m²+4m+4，由此能求出m的值．
（2）由f（a）+f（c）=log₂（a+m）+log₂（c+m）=log₂[（a+m）（c+m）]，知2f（b）=2log₂（b+m）=log₂（b+m）²，由a，b，c成等比数列，知b²=ac．由此按m＞0、m＜0和m=0进行分类判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系．

解答：解：（1）∵f（1），f（2），f（4）成等差数列，
∴f（1）+f（4）=2f（2）．
即log₂（1+m）+log₂（4+m）=log₂（2+m）²
∴（m+1）（m+4）=（m+2）²
即m²+5m+4=m²+4m+4
∴m=0
（2）∵f（a）+f（c）=log₂（a+m）+log₂（c+m）=log₂[（a+m）（c+m）]，
2f（b）=2log₂（b+m）=log₂（b+m）²，
∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac
∵（a+m）（c+m）-（b+m）²
=ac+am+cm+m²-b²-2bm-m²
=ac+m（a+c）-b²-2bm
=m（a+c）-2m

ac

∵a＞0，c＞0．
∴a+c≥2

ac

①m＞0时，（a+m）（c+m）-（b+m）²＞0，
∴log₂[（a+m）（c+m）＞log₂（b+m）²
∴f（a）+f（c）＞2f（b）；
②m＜0时，（a+m）（c+m）-（b+m）²＜0，
∴log₂[（a+m）（c+m）]＜log₂（b+m）²
∴f（a）+f（c）＜2f（b）；
③m=0时，（a+m）（c+m）-（b+m）²=0
∴log₂[（a+m）（c+m）]=log₂（b+m）²
∴f（a）+f（c）=2f（b）．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．