Question

已知A（-1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足

|MA|

|MB|

=

1

2

，设动点M的轨迹为C．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；
（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：解：（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是图形：轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆．
（2）先设过点B的直线为y=k（x-2）．利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得k的取值范围，从而得出动点M与定点B连线的斜率的最小值即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过A，再利用PA⊥QA，求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）

(x+1)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

化简可得（x+2）²+y²=4．
轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆（3分）
（2）设过点B的直线为y=k（x-2）．圆心到直线的距离d=

|-4k|

k2+1

≤2
∴-

3

3

≤k≤

3

3

，k_min=-

3

3

（7分）
（3）假设存在，联立方程

y=x+m (x+2)2+y2=4

得2x²+2（m+2）x+m²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则x₁+x₂=-m-2，x₁x₂=

m2

2

PA⊥QA，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）+（x₁+m）（x₂+m）=0，
2x₁x₂+（m+1）（x₁+x₂）+m²+1=0得m²-3m-1=0，
m=

3± 13

2

且满足△＞0．∴m=

3± 13

2

（12分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．本题是利用的直接法．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．