Question

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）
（2）（-∞，）

试题分析：解：（1）∵焦距为4，∴ c=2   1分
又∵的离心率为   2分
∴，∴a=，b=2   4分
∴标准方程为  6分
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得 7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴＜0 9分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0  10分
∴＜0  12分
∴k＜    13分
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，） 14分.
点评：主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。