Question

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-

5

x

不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=

bx+c

ax

的函数为例）

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数的定义域（-∞，0）∪（0．+∞），故可设[m，n]是已知函数定义域的子集．而函数y=3-

5

x

在

m，&n

上单调递增．假设[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

g(m)=m g(n)=n

，通过判断方程的解的存在情况进行判断是否存在和谐区间
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．由题意可得[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
若函数y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，由题意可得函数y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上单调递增．，则

f(m)=m f(n)=n

，故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根，利用一元二次方程有两个不同的实根的条件可求a＞3或 a＜-1而n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，由二次函数的性质可求
（3）可以举常见的基本初等函数，如y=-x+2，y=sin

π

2

x，y=

1-x2

即可．

解答：解：（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函数y=3-

5

x

在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

g(m)=m g(n)=n

（4分）
故m、n是方程3-

5

x

=x的同号的相异实数根．∵x²-3x+5=0无实数根，
∴函数y=3-

5

x

不存在“和谐区间”．（6分）
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函数y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

f(m)=m f(n)=n

（10分）
故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵mn=

1

a2

＞0，
∴m，n同号，只须△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]
，∵n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，
∴当a=3时，n-m取最大值

2 3

3

（14分）
（3）如：y=-x+2和谐区间为、[0，2，]，[-1，3，]，
当a+b=2的区间[a，b]；y=sin

π

2

x和谐区间为[0，1]
y=

1-x2

和谐区间为[-1，0]（18分）

点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强．