Question

18．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程；
（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．

Answer 1

分析 （1）首先设所求圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，然后根据点A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）在圆上列方程组解之；
（2）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=5，BC=12，由此求出△ABC内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC内切圆的方程．

解答 解：（1）设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，①
因为A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，
于是$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（7-a）^{2}+（-3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（2-a）^{2}+（-8-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，可解得a=2，b=-3，r=25，
所以△ABC的外接圆的方程是（x-2）²+（y+3）²=25．
（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），
∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，
∴△ABC内切圆的半径r=$\frac{5+12-13}{2}$=2，圆心（2，2），
∴△ABC内切圆的方程为（x-2）²+（y-2）²=4．

点评 本题考查圆的方程，考查待定系数法的运用，考查三角形内切圆方程的求法，属于中档题．