Question

13．已知函数$f（x）={（{log_2}x）^2}-{log_2}{x^2}+3$，当x∈[1，4]时，f（x）的最大值为m，最小值为n．
（1）若角α的终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）设$g（x）=mcos（nx+\frac{π}{m}）-n$，h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的零点x₁，x₂，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令log₂x=t，∴g（t）=t²-2t+3，t∈[0，2]，求得m，n，利用三角函数定义求解．
（2）h（x）=g（x）-k=3cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2-k，即h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的零点x₁，x₂?y=3cosx，x$∈[0，\frac{4}{3}π]$与y=2+k有两个交点，结合余弦函数图象即可求解．

解答 解：（1）$f（x）={（{log_2}x）^2}-{log_2}{x^2}+3$，
令log₂x=t，∴g（t）=t²-2t+3，t∈[0，2]
最大值m=3，最小值n=2，
∴P（3，2），∴$sinα=\frac{2}{{\sqrt{13}}}$，$cosα=\frac{3}{{\sqrt{13}}}$，
∴$sinα+cosα=\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$．
（2）$g（x）=3cos（2x+\frac{π}{3}）-2$，h（x）=g（x）-k=3cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2-k
⇒$3cos（2x+\frac{π}{3}）=2+k$，
x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4}{3}π$]，
∴h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的零点x₁，x₂?y=3cosx，x$∈[0，\frac{4}{3}π]$与y=2+k有两个交点，
∴$k+2∈（-3，-\frac{3}{2}]$，
∴$k∈（-5，-\frac{5}{2}]$．

点评 本题考查了二次函数的值域、三角函数定义、函数零点，属于中档题．