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    16．某工厂有120名工人，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分成四组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
     年龄分组 A项培训成绩优秀人数 B项培训成绩优秀人数
    [20，30） 27 16
    [30，40） 28 18
    [40，50） 26 9
    [50，60] 6 4
    （1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；
    （2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；
    （3）随机从年龄段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，设这两人中AB两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．

    分析 （1）由频率分布直方图可知，年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，由此能示出四个年龄段分别应抽取的人数．
    （2）各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，由此能由此估计全厂工人的平均年龄．
    （3）因为年龄段[20，30）的工人数为36，从该年龄段任取1人，A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为$\frac{1}{3}$．年龄段[40，50）的工人数为24，从该年龄段任取1人，A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为$\frac{1}{4}$，由题设，X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

    解答 解：（1）由频率分布直方图可知，年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，
    因为40×0.3=12，40×0.35=14，40×0.2=8，40×0.15=6，
    所以年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）应抽取的人数分别为12，14，8，6．
    （2）因为各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，
    对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，
    则$\overline{x}$=25×0.3+35×0.35+45×0.2+55×0.15=37．
    由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁
    （3）因为年龄段[20，30）的工人数为120×0.3=36，
    从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{27}{36}$=$\frac{3}{4}$，
    B项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，
    所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为$\frac{3}{4}×\frac{4}{9}=\frac{1}{3}$．
    因为年龄段[40，50）的工人数为120×0.2=24，
    从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{16}{24}$=$\frac{2}{3}$，
    B项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$，
    所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为$\frac{2}{3}×\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$，
    由题设，X的可能取值为0，1，2．
    P（X=0）=（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
    P（X=1）=$\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$，
    P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，
    所以X的分布列是

    X012
    P$\frac{1}{2}$$\frac{5}{12}$$\frac{1}{12}$
    期望E（X）=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{1}{12}$=$\frac{7}{12}$．

    点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审，在历年高考中都是必考题型之一．

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