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已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离
(1)求点M的轨迹方程
(2)经过点F,倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点,求|AB|
(3)设过点G(0,4)的直线n交M的轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2),O为坐标原点.证明:OC⊥OD.
(1)点M到点F的距离是|MF|=
x2+(y-1)2
,点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|
根据题意,得x2+(y-1)2=(y+1)2
x2+y2-2y+1=y2+2y+1
y=
x2
4

∴点M的轨迹方程是y=
x2
4

(2)∵倾斜角为30°,∴直线m的斜率为
3
3

∵F(0,1),∴直线m的方程为:y=
3
3
x+1

与抛物线方程联立
y=
x2
4
y=
3
3
x+1

消去y可得,
x2
4
 -
3
3
x-1=0

∴x1=2
3
x2=-
2
3
3

∴y1=3或y2=
1
3

A(2
3
,3),B(-
2
3
3
1
3
)

|AB|=
(2
3
+
2
3
3
)
2
+(3-
1
3
)
2
=
16
3

(3)证明:过G(0,4)的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程,得
x2
4
=kx+4
即x2-4kx-16=0
∵过点G(0,4)的直线n交M的轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2),
∴x1+x2=4k,x1x2=-16
∵OC 的斜率是
y1
x1
,OD的斜率是
y2
x2

y1
x1
×
y2
x2
=
1
4
 
x21
×
1
4
x22
x1x2
x1x2
16
=-1

∴OC⊥OD
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