Question

8．已知f（x）=|x-2a|-|x-5|，且对于任意x∈R都有f（x）≤1恒成立
（I）求a的取值范围；
（Ⅱ）若0＜b＜1，求证：|log_a（1-b）|＞|log_a（1+b）|

Answer 1

分析 （I）由题意可得f（x）_max≤1，）由||x-2a|-|x-5||≤|（x-2a）-（x-5）|=|2a-5|，可得f（x）的最大值，再由绝对值不等式的解法可得a的范围；
（Ⅱ）运用对数函数的性质，可得log_a（1-b）＜0，log_a（1+b）＞0，将绝对值去掉，再由作差比较法，即可得证．

解答 解：（I）f（x）=|x-2a|-|x-5|，且对于任意x∈R都有f（x）≤1恒成立，
即为f（x）_max≤1，
由|f（x）|=||x-2a|-|x-5||≤|（x-2a）-（x-5）|=|2a-5|，
当（x-2a）（x-5）≥0时，取得最大值|2a-5|，
即有|2a-5|≤1，
解得2≤a≤3，
即有a的范围是[2，3]：
（Ⅱ）证明：由0＜b＜1，可得0＜1-b＜1，1＜1+b＜2，
又2≤a≤3，
可得log_a（1-b）＜0，log_a（1+b）＞0，
|log_a（1-b）|-|log_a（1+b）|=-log_a（1-b）-log_a（1+b）
=-log_a（1-b²），
由0＜b＜1可得，0＜1-b²＜1，即有log_a（1-b²）＜0，
则|log_a（1-b）|-|log_a（1+b）|＞0，
即为|log_a（1-b）|＞|log_a（1+b）|．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查对数不等式的证明，注意运用对数函数的性质，考查运算能力，属于中档题．