Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称． （I）求m的值；
（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点， =﹣3（O为坐标原点），求圆C的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）x2+y2+2x+a=0（x+1）2+y2=1﹣a，圆心（﹣1，0）．

∵圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称，∴直线过圆心，

∴﹣m+0+1=0m=1，

故m的值为1．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）

=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1

2x2+4x+1+a=0，

根据韦达定理：x1+x2=﹣2；x1x2= ．

∴1+a﹣2+1=﹣3a=﹣3．

∴圆C的方程是：（x+1）2+y2=4．

【解析】（I）根据圆的对称性判定直线过圆心，先求圆心坐标，再代入直线方程求解；（II）设A、B的坐标，根据向量坐标运算与韦达定理根与系数的关系求解即可．