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已知椭圆C过点A(1,
32
)
,两个焦点坐标分别是F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求椭圆C的方程.
(2)过左焦点F1作斜率为1的直线l与椭圆相交于M、N两点,求线段MN的长.
分析:(1)根据椭圆定义,2a=
(1+1)2+(
3
2
)
2
+
(1-1)2+(
3
2
)
2
=4
,所以a=2又c=1,所以b2=a2-c2=3因为焦点在x轴上,由此能求出椭圆方程.
(2)由已知得直线l的方程为:y=x+1,因为M、N是直线与椭圆的交点,故设M(x1,y1),N(x2,y2),由
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
,得7x2+8x-8=0,由此能求出线段MN的长.
解答:解:(1)根据椭圆定义,
2a=
(1+1)2+(
3
2
)
2
+
(1-1)2+(
3
2
)
2
=4

所以a=2
又c=1所以b2=a2-c2=3因为焦点在x轴上,
所以椭圆方程为:
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由已知得直线l的方程为:y=x+1,
因为M、N是直线与椭圆的交点,
故设M(x1,y1),N(x2,y2),
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1

得7x2+8x-8=0,
所以x1+x2=-
8
7
x1x2=-
8
7

所以|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
64
49
+
32
7
=
12
2
7

所以|MN|=
1+12
|x1-x2|=
24
7
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C过点M(1,
6
2
),F(-
2
,0)
是椭圆的左焦点,P、Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•广元一模)已知椭圆C过点A(1,
3
2
)
,两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0).
①求椭圆C的方程;
②过点A的直线l交椭圆C于另一点B,若点M的横坐标为-
1
2
_,且满足
OA
+
OB
=
2OM
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:广东省深圳高级中学2011-2012学年高二上学期期末数学文科试题 题型:044

已知椭圆C过点A(1,),两个焦点为(-1,0),(1,0).

(1)求椭圆C的方程;

(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C过点A(1,
3
2
)
,两个焦点坐标分别是F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求椭圆C的方程.
(2)过左焦点F1作斜率为1的直线l与椭圆相交于M、N两点,求线段MN的长.

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