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    设
    a
    =(cos(θ-
    π
    6
    ) ，sin(θ-
    π
    6
    )) ，
    b
    =(2cos(θ+
    π
    6
    )，2sin(θ+
    π
    6
    ))    ．
    （1）若向量(2t
    b
    +7
    a
    )    与向量(
    b
    +t
    a
    )    的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
    （2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t
    b
    +
    m
    t
    a
    (m    为常数，且m＞0）的模的最小值．
    分析：（1）由已知可求|
    a
    |    ，|
    b
    |    ，
    a
    •
    b
    ，由夹角为锐角，代入(2t
    b
    +7
    a
    )•(
    b
    +t
    a
    )    =2t|
    b
    2    |+2t2
    a
    •
    b
    +7
    a
    •
    b
    +7t|
    a
    |    2    ＞0，解不等式可求t的范围，舍去2t
    b
    +7
    a
    =λ(
    b
    +t
    a
    )    中t即可
    （2）由(2b
    t
    +
    m
    t
    a
    )    2    =4t2|
    b
    |    2    +4m
    a
    •
    b
    +
    m2
    t2
    |
    a
    |    2    =16t2+
    m2
    t2
    +4m    ，结合y=16t2+
    m2
    t2
    +4m    ，t∈（0，1]的单调性可求y的最小值
    解答：解：（1）由题设易得|
    a
    |=1    ，|
    b
    |=2，
    a
    •
    b
    =2cos[(θ-
    π
    6
    )-(θ+
    π
    6
    )]    =2cos(-
    1
    3
    π)    =1 
    ∴(2t
    b
    +7
    a
    )•(
    b
    +t
    a
    )    =2t|
    b
    |    2    =2t|
    b
         |2+2t
    a
    •
    b
    +7
    a
    •
    b
    +7t|
    a
    |  2    ＞0
    整理可得，2t2+15t+7＞0
    ∴t＞-
    1
    2
     或 t＜-7
    又当2t
    b
    +7
    a
    与b+t
    a
    共线时，不满足题意．
    令2t
    b
    +7
    a
    =λ(
    b
    +t
    a
    )
    则
    2t=λ
    7=tλ
    ∴t=±
    		14
    2

    ∴t＞-
    1
    2
     或 t＜-7，且t≠±
    		14
    2
             （6分）
    （2）∵(2b
    t
    +
    m
    t
    a
    )    2    =4t2|
    b
    |    2    +4m
    a
    •
    b
    +
    m2
    t2
    |
    a
    |    2
    =16t2+
    m2
    t2
    +4m
    令y=16t2+
    m2
    t2
    +4m     t∈（0，1]
    ∵y=16t2+
    m2
    t2
    +4m    ≥8m+4m=12m
    当且仅当t=
    		m
    2

    于是①当
    		m
    2
    ∈(0，1]     即 0＜m≤4时
    当且仅当t=
    		m
    2
    时，ymin=12m．从而|2t
    b
    +
    m
    t
    a
    |=2
    		3m

    ②当
    		m
    2
    ＞1     即m＞4时
    可证 y=16t2+
    m2
    t2
    +4m    在（0，1]为减函数
    从而当t=1时，ymin=m2+4m+16
    ∴|2t
    b
    +
    m
    t
    a
    | min=
    		m2+4m+16
                    （6分）
    点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的综合应用，注意：向量
    a
    ，
    b
    的夹角θ为锐角时，并不等价于
    a
    •
    b
    ＞0    ，一定要把向量同向的情况去掉，及函数的单调性在求解函数最值中的应用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a=cos（
    10π
    3
    ），b=sin（-380°），则（　　）
    A、a＞0，b＞0
    B、a＞0，b＜0
    C、a＜0，b＞0
    D、a＜0，b＜0

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设
    a
    =(cosα，sinα)    ，
    b
    =(cosβ，sinβ)
    （1）若
    a
    -
    b
    =(-
    2
    3
    ，
    1
    3
    )    ，θ为
    a
    ，
    b
    的夹角，求cosθ．
    （2）若
    a
    与
    b
    夹角为60°，那么t为何值时|
    a
    -t
    b
    |    的值最小？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•静安区一模）（理）设
    a
    =(cosα，(λ-1)sinα)，
    b
    =(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜
    π
    2
    )    是平面上的两个向量，若向量
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    相互垂直，
    （1）求实数λ的值；
    （2）若
    a
    •
    b
    =
    4
    5
    ，且tanα=
    4
    3
    ，求α的值（结果用反三角函数值表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设
    a
    =(cosθ，sinθ)，
    b
    =(3，4)，则
    a
    •
    b
    的最小值是（　　）

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