【题目】在三棱柱 中, 平面 ,其垂足 落在直线 上.
(1)求证: ;
(2)若 为 的中点,求三棱锥 的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
(Ⅰ)欲证BC⊥A1B,可寻找线面垂直,而A1A⊥BC,AD⊥BC.又AA1平面A1AB,AD平面A1AB,A1A∩AD=A,根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB,问题得证;(Ⅱ)根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC,求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积,先求出三角形PBC的面积,再根据体积公式解之即可.
(Ⅰ)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,
∴A1A⊥平面ABC,又BC平面ABC,
∴A1A⊥BC
∵AD⊥平面A1BC,且BC平面A1BC,
∴AD⊥BC.又AA1平面A1AB,
AD平面A1AB,A1A∩AD=A,
∴BC⊥平面A1AB,
又A1B平面A1BC,
∴BC⊥A1B;
(Ⅱ)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥AB.
∵AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上,
∴AD⊥A1B.
在Rt∠△ABD中,,AB=BC=2,
= ,∠ABD=60°,
在Rt∠△ABA1中,AA=AB tan60=2
由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,AB平面A1AB,
从而BC⊥AB,=AB BC= 22=2.
∵P为AC的中点,=S =1
= =.
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【题目】某企业生产,两种产品,根据市场调查与预测,产品的利润与投资成正比,其关系如图1,产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,(注:利润与投资单位:万元)
(1)分别将,两种产品的利润表示为投资的函数关系,并写出它们的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,全部投入到,两种产品的生产,怎样分配资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元).
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【题目】下列命题中正确的个数①“,”的否定是“,”;②用相关指数可以刻画回归的拟合效果,值越小说明模型的拟合效果越好;③命题“若,则”的逆命题为真命题;④若的解集为,则.
A. B. C. D.
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【题目】(2018·江西六校联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,cosA=-.
(1)求角B的大小;
(2)若f(x)=cos2x+sin2(x+B),求函数f(x)的单调递增区间.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,直线与轴轴分别交于两点.
①设直线斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;
②求面积的最大值.
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【题目】已知向量,,,,函数,的最小正周期为.
(1)求的单调增区间;
(2)方程;在上有且只有一个解,求实数n的取值范围;
(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得++m(-)+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示,在著名的汉诺塔问题中,有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘,三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘,较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上,规则如下:每次只能移动一个圆盘,且每次移动后,每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面,规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为,则( )
A. 33B. 31C. 17D. 15
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【题目】(13分)设{an}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
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