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正方形ABCD中,AB=2,E、F分别是边AB及BC的中点,将△AED及△DCF折起(如图),使A、C点重合于A′点.
(Ⅰ)证明A′D⊥EF;
(Ⅱ)求A′D与平面DEF所成角的正切值.

证明:(I)∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB,DC⊥BC,
即AD⊥AE,DC⊥CF,折起后,即A′D⊥A′E,A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
证明:(II)取EF中点G,连接A′G,DG,过A′做DG的垂线,交DG于H.
∵G是中点,且A′E=A′F=1,DE=DF=
∴A′G⊥EF,GD⊥EF
∴EF⊥面A′GD,
∴EF⊥A′H
又因为A′H⊥DG 所以A′H⊥面DEF
所以∠A′DG即所求的A′D与平面DEF所成角,
又因为A′D⊥面A′EF,所以A′D⊥A′G
所以tan∠A′DG=
由题意可知,A′G=,A′D=2,
所以tan∠A′DG=
已知a∈R,设函数
分析:(I)由正方形的几何牲,我们易得AD⊥AB,DC⊥BC,即折起后A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,由线面垂直的判定定理可得,A′D⊥面A′EF,再由线面垂直的性质可得A′D⊥EF;
(Ⅱ)取EF中点G,连接A′G,DG,过A′做DG的垂线,交DG于H.根据等腰三角形三线合一,可得A′G⊥EF,GD⊥EF,则EF⊥面A′GD,进而可得A′H⊥面DEF,由二面角的平面角的定义,可得∠A′DG即所求的A′D与平面DEF所成角,解△A′DG即可求出.
点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的解,直线与平面垂直的判定和性质,其中(1)的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化关系,(2)的关键是求得∠A′DG即所求的A′D与平面DEF所成角.
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14
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