Question

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数．

Answer 1

分析：（1）采用赋值法，令x=y=0，即可求得f（0）；
（2）对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），可求得f（x）=f2(

x

2

)≥0，进一步可求得f（x）＞0，再利用单调性的定义即可证明f（x）为单调递增函数．

解答：解：（1）令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
又f（1）=2=f（1）f（0），故f（0）=1．
（2）由于f(x)=f2(

x

2

)≥0，假设存在t，使f（t）=0，则f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，与题设矛盾，所以f（x）＞0．
设x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）为单调递增函数．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查赋值法的运用，考查反证法及函数单调性的定义的应用，属于难题．