【题目】甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示,已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10.
(1)求x,y的值;
(2)求甲乙所得篮板球数的方差和,并指出哪位运动员篮板球水平更稳定;
(3)教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估.现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估,则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率.
【答案】(1)x=2,y=9;(2),乙更稳定;(3).
【解析】
(1)利用平均数求出x,y的值;(2)求出甲乙所得篮板球数的方差和,判断哪位运动员篮板球水平更稳定;(3)利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率.
(1)由题得,
.
(2)由题得,
.
因为,所以乙运动员的水平更稳定.
(3)由题得所有的基本事件有(8,8),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(10,8),(10,9),(10,10),(10,11),(10,12),(12,8),(12,9),(12,10),(12,11),(12,12),(13,8),(13,9),(13,10),(13,11),(13,12).共25个.
两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有(8,8),(8,9),(7,8),(7,9),(7,10),共5个,
由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为.
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【题目】已知等比数列的前项和为,公比,,.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)将已知两式作差,利用等比数列的通项公式,可得公比,由等比数列的求和可得首项,进而得到所求通项公式;(2)求得bn=n,,由裂项相消求和可得答案.
(1)等比数列的前项和为,公比,①,
②.
②﹣①,得,则,
又,所以,
因为,所以,
所以,
所以;
(2),
所以前项和.
【点睛】
裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和,还有一类隔一项的裂项求和,如或.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知函数的图象上有两点,.函数满足,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)能否保证和中至少有一个为正数?请证明你的结论.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,点P在底面的射影为点O,PO=3,点E为线段PD中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若点F为侧棱PA上的一点,当PA⊥平面BDF时,试确定点F的位置,并求出此时几何体F﹣BDC的体积.
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【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数取出.先取1;再取1后面两个偶数2,4;再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去,得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个新数列中,由1开始的第2 019个数是( )
A. 3 971B. 3 972C. 3 973D. 3 974
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【题目】为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知原公园是直径为200米的半圆形,出入口在圆心处,为居民小区,的距离为200米,按照设计要求,以居民小区和圆弧上点为线段向半圆外作等腰直角三角形(为直角顶点),使改造后的公园成四边形,如图所示.
(1)若时,与出入口的距离为多少米?
(2)设计在什么位置时,公园的面积最大?
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【题目】如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴的正半轴相交于A,B两点(A在B的上方),且AB=3.
(1)求圆C的方程;
(2)直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT2=12,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如果圆C上存在E,F两点,使得射线AB平分∠EAF,求证:直线EF的斜率为定值.
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【题目】某颜料公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为 .
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【题目】给出下面四个推理:
①由“若是实数,则”推广到复数中,则有“若是复数,则”;
②由“在半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中,正方体的体积最大”;
③以半径R为自变量,由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”;
④由“直角坐标系中两点、的中点坐标为”类比推出“极坐标系中两点、的中点坐标为”.
其中,推理得到的结论是正确的个数有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=t,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.
(1)若t=1,求异面直线AC1与A1B所成角的大小;
(2)若t=5,求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值;
(3)若二面角A1—BD—C的大小为120°,求实数t的值.
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