Question

4．设函数f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=-4x³+3x，对任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥g（t）成立，则实数a的取值范围是a≥1．

Answer 1

分析 t∈[$\frac{1}{2}$，2]时，g（t）的最大值为1，若对任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥g（t）成立，则在[$\frac{1}{2}$，2]上$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，构造函数h（x）=-x²lnx+x，求其最大值，可得答案．

解答 解∵在[$\frac{1}{2}$，2]上g′（x）=-12x²+3≤0恒成立，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，g（x）=-4x³+3x取最大值1，
∵对任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥g（t）成立，
∴在[$\frac{1}{2}$，2]上$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，
即在[$\frac{1}{2}$，2]上a≥-x²lnx+x恒成立，
令h（x）=-x²lnx+x，则h′（x）=-x（2lnx+1）+1，h′′（x）=-2lnx-3，
∵在[$\frac{1}{2}$，2]上h′′（x）＜0恒成立，∴h′（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上为减函数，
∵当x=1时，h′（x）=0，故当x=1时，h（x）取最大值1，
故a≥1，
故答案为：a≥1

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．