Question

14．已知点F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），则|PQ|+|PF|的最大值为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设椭圆C的右焦点为F′（1，0），由已知条件推导出|PQ|+|PF|=|PQ|+2$\sqrt{2}$-|PF′|，利用Q，F′，P共线
，可得|PQ|+|PF|取最大值．

解答 解：∵点F为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦点，∴F（-1，0），
∵点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），
设椭圆C的右焦点为F′（1，0），
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+2$\sqrt{2}$-|PF′|
=2$\sqrt{2}$+|PQ|-|PF′|，
∵|PQ|-|PF′|≤|QF′|=3$\sqrt{2}$，
∴|PQ|+|PF|≤5$\sqrt{2}$，即最大值为5$\sqrt{2}$，此时Q，F′，P共线
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．