Question

阅读与理解：
给出公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；我们可以根据公式将函数g（x）=sinx+

3

cosx化为：g（x）=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）=2sin（x+

π

3

）
（1）根据你的理解将函数f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）化为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式．
（2）求出上题函数f（x）的最小正周期、对称中心及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

sin（x+

π

6

）．
（2）由（1）可得函数的最小正周期 T=2π．令x+

π

6

=kπ，k∈z，求得 x=kπ-

π

6

，可得函数的中心．令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得递增区间．

解答：解：（1）函数f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

2

sinx+

3

2

cosx
=

3

（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=

3

sin（x+

π

6

）．
（2）由（1）可得函数的最小正周期 T=2π，
令x+

π

6

=kπ，k∈z，求得 x=kπ-

π

6

，
故函数的中心为 （kπ-

π

6

，0），k∈z．
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
故递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调性、对称性和求法，属于中档题．