Question

9．某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年初，以后每年只能在原单位按上一年的$\frac{2}{3}$领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为a_n元；
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）当$b≥\frac{3a}{8}$时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？

Answer 1

分析 （1）由题意可得：n=1时，a₁=a．n≥2时，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．即可得出a_n．
（2）$b≥\frac{3a}{8}$时，n≥2时，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$≥a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$\frac{3a}{8}$$（\frac{3}{2}）^{n-2}$，再利用基本不等式的性质即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可得：n=1时，a₁=a．n≥2时，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．
因此a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=1}\\{a×（\frac{2}{3}）^{n-1}+b×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）$b≥\frac{3a}{8}$时，n≥2时，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$≥a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$\frac{3a}{8}$$（\frac{3}{2}）^{n-2}$≥a×2$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{n-1}×\frac{3}{8}（\frac{3}{2}）^{n-2}}$=a，
因此当$b≥\frac{3a}{8}$时，一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．