Question

现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同．现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高．则不同的选法共有

1. A.
   50种
2. B.
   49种
3. C.
   48种
4. D.
   47种

Answer 1

B
分析：先将5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M={1，2，3，4，5}，这样就把要求的问题转化为数学中的概率问题，再根据小组A中最高者的人数分情况讨论即可．
解答：将5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M={1，2，3，4，5}．
①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2，3，4，5}的非空子集，这样的子集有C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴=2⁴-1=15个，
∴不同的选法有15个；
②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：{2}、{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3，4，5}的非空子集，这样的子集（小组B）有2³-1=7个，
∴不同的选法有2×7=14个；
③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{4，5}的非空子集，这样的子集（小组B）有2²-1=3个，
∴不同的选法有4×3=12个；④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有{5}1个，
∴不同的选法有8个．
∴综上，所有不同的选法是15+14+12+8=49个．
故答案选B．
点评：本题主要考查了排列与组合的实际问题，要求同学们掌握好排列与组合的计算方法，并且要学会将实际问题转化为数学问题．