Question

已知方程x⁵+x+1=0和x+

5	x

+1=0的实根分别为α和β，则α+β=

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解：令f（x）=x⁵+x+1，故f′（x）=5x⁴+1＞0，推出函数f（x）=x⁵+x+1在R上递增，进一步推出方程x⁵+x+1=0只有一个根，
由条件α⁵+α+1=0、β+

5	β

+1=0，推出α=

5	β

，α+β=

5	β

+β=-1．

解答： 解：令f（x）=x⁵+x+1，
∴f′（x）=5x⁴+1＞0，∴函数f（x）=x⁵+x+1在R上递增，∴函数f（x）=x⁵+x+1在R上只有一个零点，
∴方程x⁵+x+1=0只有一个根，
∵方程x⁵+x+1=0和x+

5	x

+1=0的实根分别为α和β，
∴α⁵+α+1=0、β+

5	β

+1=0，
进一步有β+

5	β

=-1，
而β+

5	β

+1=0?(

5	β

)5+

5	β

+1=0，
故α⁵+α+1=0、(

5	β

)5+

5	β

+1=0，
而方程x⁵+x+1=0只有一个根，∴α=

5	β

∴α+β=

5	β

+β=-1
故答案为：-1

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，推导两个方程之间的关系是解题的关键．