Question

0＜a＜是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的

1. A.
   充分非必要条件
2. B.
   必要非充分条件
3. C.
   充要条件
4. D.
   非充分非必要条件

Answer 1

A
分析：分类讨论：①当a＜0时，不那组题意，②当a=0时，满足题意③a＞0时，二次函数对应的抛物线开口向上，对称轴为x=，函数的减区间是（-∞，]，要使函数在区间（-∞，4]上为减函数，则需区间（-∞，4]在对称轴左侧，即≥4，解之可得a的范围．综合可得其充要条件是0≤a≤，由集合的包含关系可得答案．
解答：①当a＜0时，二次函数对应的抛物线开口向下，对称轴为x=，
故f（x）在（-∞，]上单调递增，不可能满足在区间（-∞，4]上为减函数．
②当a=0时，f（x）=-2x+2，此时f（x）是一次函数，满足在区间（-∞，4]上为减函数．
③a＞0时，二次函数对应的抛物线开口向上，对称轴为x=
函数的减区间是（-∞，]，要使函数在区间（-∞，4]上为减函数，
则需区间（-∞，4]在对称轴左侧，所以≥4，解得a≤．
综上可得函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充要条件是0≤a≤．
因为{a|0＜a＜}是{a|0≤a≤}的真子集，
所以0＜a＜是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件，
故选A
点评：本题考查充要条件的判断，涉及二次函数的单调性，以及分类讨论的思想，属中档题．