Question

已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞4；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（1）＞4，即-3+a（6-a）+6＞4，即a²-6a+1＜0，由此可得不等式的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（0，3），等价于-3x²+a（6-a）x+6＞b的解集为（0，3），即0，3是方程3x²-a（6-a）x-6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-3x²+a（6-a）x+6，f（1）＞4
∴-3+a（6-a）+6＞4
∴a²-6a+1＜0
∴3-2

2

＜a＜3+2

2

∴不等式的解集为{a|3-2

2

＜a＜3+2

2

}．（6分）
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（0，3），
∴-3x²+a（6-a）x+6＞b的解集为（0，3），
∴0，3是方程3x²-a（6-a）x-6+b=0的两个根
∴

0+3= a(6-a) 3 0×3= -6+b 3

∴a=3，b=6（12分）

点评：本题考查不等式的解法，考查不等式的解集与方程解的关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．