Question

2．如图，已知⊙O′：x²+（y+$\frac{\sqrt{6}}{3}$m）²=4m²（m＞0）及点M（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$m），在⊙O′上任取一点M′，连接MM′，并作MM′的中垂线l，设l与直线O′M′交于点P，若点M′取遍⊙O′上的点．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与轨迹C相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点D，若$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，求△OAB的面积取得最大值时轨迹C的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，结合线段的垂直平分线的性质可得：|PM|+|PO′|=|O′M′|=2m$＞\frac{2\sqrt{6}m}{3}$，由此可知点P的轨迹C是以O′，M为焦点的椭圆，并得到a，c的值，结合隐含条件求出b，则椭圆方程可求；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根与系数的关系及向量相等得到y₁，y₂的关系，可用k来表示，再利用三角形的面积公式，从而得△OAB的面积 S=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₂-y₁|，再利用基本不等式的性质，即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到m的值，具体椭圆方程可求．

解答 解：（1）由⊙O′：x²+（y+$\frac{\sqrt{6}}{3}$m）²=4m²（m＞0），可得圆心O′（$-\frac{\sqrt{6}}{3}，0$），半径为2m，
由题意可知：|PM|+|PO′|=|O′M′|=2m$＞\frac{2\sqrt{6}m}{3}$，
∴点P的轨迹C是以O′，M为焦点的椭圆，且a=m，c=$\frac{\sqrt{6}}{3}m$，
∴${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={m}^{2}-\frac{2}{3}{m}^{2}=\frac{{m}^{2}}{3}$，
则C的方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{3{x}^{2}}{{m}^{2}}=1$；
（2）由y=k（x+1）（k≠0）得x=$\frac{1}{k}$y-1．
并代入椭圆方程3x²+y²=m²，消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²m²=0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y₁+y₂=$\frac{6k}{3+{k}^{2}}$，②
∵$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，而点D（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y₂=$\frac{-6k}{3+{k}^{2}}$，③
∴△OAB的面积 S=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₂-y₁|=$\frac{3}{2}$|y₂|=$\frac{9|k|}{3+{k}^{2}}$≤$\frac{9|k|}{2\sqrt{3}|k|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当k²=3，即k=±$\sqrt{3}$时取等号．
把k的值代入③可得y₂=±$\sqrt{3}$，这两组值分别代入①，均可解出m²=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x²+y²=15．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．