Question

对于数列{x_n}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N^*）都有x_m+n=x_n成立，那么就把这样一类数列{x_n}称作周期为m的周期数列，m的最小正值称作数列{x_n}的最小正周期，以下简称周期．例如当x_n=2时，{x_n}是周期为1的周期数列；当yn=sin(

nπ

2

)时，{y_n}是周期为4的周期数列．设数列{a_n}满足an+2=λ•an+1-an(n∈N*)，a1=1，a2=20．
（1）若数列{a_n}是周期为3的周期数列，则常数λ的值是

-1

；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若λ=1，则S₂₀₁₂=

21

．

Answer 1

分析：（1）直接利用数列{a_n}是周期为3的周期数列以及a_n+2=λ•a_n+1-a_n可以推得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0即可求常数λ的值；
（2）由题意可得，当λ=1时，a_n+2=a_n+1-a_n，结合a₁=1，a₂=20可求出前几项，从而可发现数列的周期性规律，进而可求和

解答：解：由（1）数列{a_n}是周期为3的数列，
得a_n+3=a_n，
∵

an+2=λan+1-an an+3=λan+2-an+1

两式相减可得，a_n+3-a_n+2=λa_n+2-（λ+1）a_n+1+a_n
把a_n+3=a_n代入上式可得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0，即λ=-1．
（2）由题意可得，当λ=1时，a_n+2=a_n+1-a_n
∵a₁=1，a₂=20
∴a₃=19，a₄=-1，a₅=-20，a₆=-19，a₇=1=a₁，a₈=a₂=20
∴数列{a_n}是以6为周期的周期数列且a₁+a₂+…+a₆=0
则S₂₀₁₂=a₁+a₂+…+a₂₀₁₂
=335（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂
=21
故答案为：-1，3

点评：本题是在新定义下对数列知识的综合考查，解答的关键是数列周期规律的发现，属于数列中的难题．