给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
(1)椭圆方程,伴随圆方程
;(2)
;(3)存在,
.
解析试题分析:(1)这是基本题,题设实质已知,要求椭圆标准方程,已知圆心及半径求圆的方程;(2)为了求
点坐标,我们可设直线
方程为
,直线
与椭圆只有一个公共点,即直线
的方程与椭圆的方程联立方程组,这个方程组只有一个解,消元后利用
可得
的一个方程,又直线
截圆所得弦长为
,又得一个关于
的方程,联立可解得
;(3)这是解析几何中的存在性问题,解决方法都是假设存在,然后去求出这个
,能求出就说明存在,不能求出就说明不存在.解法如下,写出过点
的直线方程,求出圆心到这条直线的距离为
,可见当圆半径不小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为0,即当
时,
,但由于
,无解,当圆半径小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为
,由此得
,又有
,可解得
,故存在.
试题解析:(1)由题意:,则
,所以椭圆
的方程为
, 2分
其“伴随圆”的方程为. 4分
(2)设直线的方程为
由得
6分
则有得
, ① 7分
由直线截椭圆
的“伴随圆”所得弦长为
,可得
,得
② 8分
由①②得,又
,故
,所以
点坐标为
. 10分
(3)过的直线的方程为:
,
即,得
12分
由于圆心到直线
的距离为
, 14分
当时,
,但
,所以,等式不能成立;
当时,
,
由得
所以
因为,所以
,
得.所以
18分
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程:
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点(―1,―1)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知的两顶点坐标
,
,圆
是
的内切圆,在边
,
,
上的切点分别为
,
(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设直线与曲线
的另一交点为
,当点
在以线段
为直径的圆上时,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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