如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
(1)详见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)要证,需先证平面,由于平面易证,故有,又因为,则证得平面;(2)综合法是先找到二面角的一个平面角,不过必须根据平面角的定义证明,然后在中解出的三角函数值.
试题解析:(1)连接,由知,点为的中点,
又∵为圆的直径,∴,
由知,,
∴为等边三角形,从而. 3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点,
∴平面,又平面,
∴, 5分
由得,平面,
又平面,
∴. 6分
(2)(综合法)过点作,垂足为,连接. 7分
由(1)知平面,又平面,
∴,又,
∴平面,又平面,∴, 9分
∴为二面角的平面角. 10分
由(Ⅰ)可知,,
∴,则,
∴在中,,
∴,即二面角的余弦值为. 14分
考点:1、线线垂直和线面垂直的证明,2、二面角的计算.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年黑龙江省哈尔滨市高三第四次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图所示,已知是圆的直径,是弦,,垂足为,平分。
(1)求证:直线与圆的相切;
(2)求证:。
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