Question

15．当a为任意实数时，直线（2a+3）x+y-4a+2=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是y²=32x或x²=-$\frac{1}{2}$y．

Answer 1

分析 将直线方程转化为（2x-4）a+3x+y+2=0求出定点坐标，然后分别设焦点在x轴和在y轴两种情况的抛物线的方程，将定点代入即可得到答案．

解答 解：将直线方程化为（2x-4）a+3x+y+2=0，可得定点P（2，-8），
①设抛物线y²=ax代入点P可求得a=32，故y²=32x；
②设抛物线x²=by代入点P可求得b=-$\frac{1}{2}$，故x²=-$\frac{1}{2}$y．
综上所述，过点P的抛物线的标准方程是y²=32x或x²=-$\frac{1}{2}$y．
故答案为：y²=32x或x²=-$\frac{1}{2}$y．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线过定点．属基础题．