Question

设函数f（x）的定义域，值域分别为A，B，且A∩B是单元集，下列命题中：
①若A∩B={a}，则f（a）=a；
②若B不是单元集，则满足f[f（x）]=f（x）的x值可能不存在；
③若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；
④若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数．
正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：用构造具体函数的方法来验证每一个命题的真伪，对构造的函数的要求是其能满足命题中的条件，然后以之来判断命题成立与否．

解答：解：通过 对概念的理解，可以如下判断这四个命题的真假．
①a∈A，即f（a）有定义；a∈B，即存在b∈A使得f（b）=a．这里并不要求f（a）=a；
比如，A={0，1}，f（x）=x+1；①不对；
②构造一个一一对应的函数如：f（x）=x+1，A={0，1}，B={1，2}，
要f（f（x））有意义，只有x=0，f（f（0））=f（1）=2≠f（0）；因此②成立
③说可能存在，具体找到一个就行，常数函数f（x）=1．③也成立
④要求A∩B是单元集，周期函数的定义域是无界的，但不一定要连续，构造一个周期函数去否定④，
如A=Z，若x是偶数，则，f（x）=0，若x为奇数，则f（x）=

1

2

，f（x）是周期为2的周期函数，B={0，

1

2

}，A∩B={0}；
故答案为②③．

点评：解本题的关键是对概念的理解，以及根据相关的概念构造一个符合题意且又能说明问题的具体函数，这种技巧与做选择题时的特值法差不多，请答题者仔细品味本题中的数学技巧与数学思想．