Question

（2013•杭州一模）已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）当a=-1时，过坐标原点O作曲线y=f_（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；
（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x₀时，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f_（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入可得函数的导数，进而可得单调区间，可得极小值；
（Ⅱ）把a=-1代入，可得切线斜率，由斜率公式还可得斜率，由等式可得m=1是唯一的实数解；
（Ⅲ）针对新定义，构造函数F（x）=f（x）-h（x），求其导数，分0＜x₀＜2，x₀＞2，x₀=2三种情况进行讨论，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，…2分
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=-2，…5分；
（Ⅱ）当a=-1时，f′（x）=2x-1-

1

x

（x＞0），所以切线的斜率
k=2m-1-

1

m

=

2m2-m-1

m

=

n

m

=

m2-m-lnm

m

，整理可得m²+lnm-1=0，
显然m=1是方程的解，又因为函数y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；
（Ⅲ）当a=8时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：
h（x）=(2x0+

8

x0

-10)(x-x0)+x02-10x0+8lnx0，
设F（x）=f（x）-h（x），则F（x₀）=0，F′（x）=f′（x）-h′（x）
=（2x+

8

x

-10）-（2x0+

8

x0

-10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）
若0＜x₀＜2，F（x）在（x₀，

4

x0

）上单调递减，所以当x∈（x₀，

4

x0

）时，
F（x）＜F（x₀）=0，此时

F(x)

x-x0

＜0，
若x₀＞2，F（x）在（

4

x0

，x₀）上单调递减，所以当x∈（

4

x0

，x₀）时，
F（x）＞F（x₀）=0，此时

F(x)

x-x0

＜0，
所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，
若x₀=2时，F′（x）=

2

x

(x-2)2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x₀时，F（x）＞F（x₀）=0，当x＜x₀时，F（x）＜F（x₀）=0，
故点P（x₀，f（x₀））为“转点”，
故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，涉及新定义，属中档题．