【题目】设函数的定义域为
,
, 当
时,
, 则函数
在区间
上的所有零点的和为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
根据f(x)的对称性和奇偶性可知f(x)在[﹣,
]上共有3条对称轴,x=0,x=1,x=2,根据三角函数的对称性可知y=|cos(πx)|也关于x=0,x=1,x=2对称,故而g(x)在[﹣
,
]上3条对称轴,根据f(x)和y=|cos(πx)|在[0,1]上的函数图象,判断g(x)在[﹣
,
]上的零点分布情况,利用函数的对称性得出零点之和.
∵f(x)=f(2﹣x),∴f(x)关于x=1对称,
∵f(﹣x)=f(x),∴f(x)根与x=0对称,
∵f(x)=f(2﹣x)=f(x﹣2),∴f(x)=f(x+2),
∴f(x)是以2为周期的函数,
∴f(x)在[﹣,
]上共有3条对称轴,分别为x=0,x=1,x=2,
又y=|cos(πx)关于x=0,x=1,x=2对称,
∴x=0,x=1,x=2为g(x)的对称轴.
作出y=|cos(πx)|和y=x3在[0,1]上的函数图象如图所示:
由图象可知g(x)在(0,)和(
,1)上各有1个零点.
又g(1)=0,∴g(x)在[﹣,
]上共有7个零点,
设这7个零点从小到大依次为x1,x2,x3,…x6,x7.
则x1,x2关于x=0对称,x3,x5关于x=1对称,x4=1,x6,x7关于x=2对称.
∴x1+x2=0,x3+x5=2,x6+x7=4,
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7.
故选:A.
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【题目】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为
,每人分别进行三次投篮.
(I)记甲投中的次数为,求
的分布列及数学期望
;
(Ⅱ)求乙至多投中2次的概率;
(Ⅲ)求乙恰好比甲多投进2次的概率.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,
与
轴的交点为
,点
在抛物线
上,过点
作
于点
,如图1.已知
,且四边形
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若正方形的三个顶点
,
,
都在抛物线
上(如图2),求正方形
面积的最小值.
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【题目】如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,M为PC的中点.
(1)求证:PC⊥AD.
(2)在棱PB上是否存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面?若存在,指出点Q的位置并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD的交点,M是PD的中点.
(1)求证:OM∥平面PAB;
(2)求证:平面PBD⊥平面PAC.
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【题目】国庆期间,一位游客来到某旅游城市,这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点,若这位游客游览这三个景点的概率分别是,且客人是否游览哪个景点互不影响,设
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求的分布列和数学期望;
(Ⅱ)记“时,不等式
恒成立”为事件
,求事件
发生的概率.
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