【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面四边形ABCD为菱形,AB=2,BD=2 ,M,N分别是线段PA,PC的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线MN与BC所成角的大小.
【答案】(Ⅰ)证明:连结AC,交BD于点O,
∵M,N分别是PA,PC的中点,∴MN∥AC,
∵MN平面ABCD,AC平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角,
∵四边形ABCD是菱形,AB=2,BO= ,
∴∠OCB=60°,
∴异面直线MN与BC所成的角为60°.
【解析】(Ⅰ)连结AC,交BD于点O,由已知得MN∥AC,由此能证明MN∥平面ABCD.(Ⅱ)由已知得∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角,由此能求出异面直线MN与BC所成的角.
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,以及对直线与平面平行的判定的理解,了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DD1 , AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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【题目】双曲线 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1 , F2渐近线分别为l1 , l2 , 位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥PF1 , l2∥PF2 , 则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个正根,求m的取值范围.
(2)若方程有两根,其中一根在区间(﹣1,0)内,另一根在区间(1,3)内,求m的取值范围.
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【题目】设集合A={x|x2+ax﹣12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={﹣3,4},A∩B={﹣3},求实数b,c的值.
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【题目】已知椭圆的两个焦点为,
是椭圆上一点,若
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过右焦点
(不与
轴重合)且与椭圆相交于不同的两点
,在
轴上是否存在一个定点
,使得
的值为定值?若存在,写出
点的坐标(不必求出定值);若不存在,说明理由.
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【题目】设f(x)为定义R在的偶函数,当0≤x≤2时,y= ;当x>2时,y=f(x)的图象是顶点在p(3,4),且过点A(2,3)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的图象,写出函数f(x)的单调区间(无需证明).
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