Question

已知：三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，
f（x）＞x²-4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数h(x)=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)，求h（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上单调增，在（-1，2）上单调减，可得f'（x）=3x²+2ax+b=0有两根-1，2，由韦达定理可以求出a，b的值，进而得到函数f （x）的解析式；
（2）由（1）中结论可得函数h(x)=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)的解析式，进而求出函数的导函数解析式，分类讨论后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上单增，（-1，2）上单减
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有两根-1，2
∴

-1+2=- 2a 3 -1×2= b 3

∴

a=- 3 2 b=-6

∴f(x)=x3-

3

2

x2-6x+c…2
令g(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-

5

2

x2-2x+c-5g′（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2）g(x)在(-∞，-

1

3

)，(2，+∞)单调增，(-

1

3

，2)单调减
故

g(4)=0 g(- 1 3 )＜0

∴c=-11
故f(x)=x3-

3

2

x2-6x-11．…5
（2）∵f′（x）=3x²-3x-6
h（x）的定义域：…6∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且x≠2）…7
∴h′(x)=1-

m+1

x+m

=

x-1

x+m

…9
①m＞-1时，-m＜1．x∈（-m，1）2时，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4时，h'（x）＞05
∴h（x）在（-m，1）单减；在（1，2），（2，+∞）上单增；
②-2＜m≤-1时，h'（x）＞0在定义域内恒成立，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上单增
③当m≤-2时，此时h（x）的定义域为：（-m，+∞），h（x）在（-m，+∞）上单增
综上：当m≤-2时，h（x）在（-m，+∞）上单增；
当-2＜m≤-1时，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上单增；
当m＞-1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（-m，1）单减．…12

点评：本题考查的知识是函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，其中（1）的关键是分析出f'（x）=3x²+2ax+b=0有两根-1，2，（2）的关键是对m值进行分类讨论．