Question

已知向量

m

=(-1，sinx)，

n

=(-2，cosx)，函数f(x)=2

m

•

n

．
（1）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值；
（2）若△ABC的角A、B所对的边分别为a、b，f(

A

2

)=

24

5

，f(

B

2

+

π

4

)=

64

13

，a+b=11，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=

m

•

n

=4+sin2x，由x∈[0，

π

2

]，根据正弦函数的定义域和值域求得sin2x的范围，即可求得函数f（x）的值域．
（2）由f(

A

2

)=

24

5

求得sinA的值；由f(

B

2

+

π

4

)=

64

13

，求得sin(B+

π

2

)的值，从而求得cosB和sinB的值，再由正弦定理得

a

b

=

sinA

sinB

=

52

25

，求得a的值．

解答：解：（1）依题意，f（x）=

m

•

n

=2（2+sinxcosx）=4+sin2x…（3分），
由x∈[0，

π

2

]，可得2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]，…（4分），
所以，函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为5．…（5分）
（2）由f(

A

2

)=

24

5

得sinA=

4

5

．…（6分），
由f(

B

2

+

π

4

)=

64

13

，得sin(B+

π

2

)=

12

13

…（7分），从而cosB=

12

13

…（8分），
因为0＜B＜π，所以sinB=

5

13

…（9分），
由正弦定理得

a

b

=

sinA

sinB

=

52

25

…（11分），所以，

a

a+b

=

52

77

，a=

52

7

…（12分）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．