(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,且CD=2AB.
(1)若AB=AD=,直线PB与CD所成角为,
①求四棱锥P-ABCD的体积;
②求二面角P-CD-B的大小;
(2)若E为线段PC上一点,试确定E点的位置,使得平面EBD垂直于平面ABCD,并说明理由.
(1)(1)VP-ABCD=·PA·SABCD=a3.(2)二面角P-CD-B为450.
(2) 当点E在线段PC上,且满足PE :EC="2" :1时,平面EBD垂直于平面ABCD.见解析。
解析试题分析:
(1)∵AB∥CD,∴∠PBA是PB与CD所成角,
从而可以得到VP-ABCD=·PA·SABCD=a3,又因为 ∵AB⊥AD,CD∥AB∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,进而解得。
(2) 当点E在线段PC上,且满足PE :EC="2" :1时,平面EBD垂直于平面ABCD.
结合猜想,运用面面垂直判定定理得到。
(1)∵AB∥CD,∴∠PBA是PB与CD所成角,
即∠PBA=450 ,∴在直角△PAB中,PA=AB=a
(1)VP-ABCD=·PA·SABCD=a3.
(2)∵AB⊥AD,CD∥AB
∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角
在直角△PDA中,∵PA=AD=a
∴∠PDA=450
即二面角P-CD-B为450.
(2) 当点E在线段PC上,且满足PE :EC="2" :1时,平面EBD垂直于平面ABCD.
理由如下:连AC、BD交于O点,连EO.
由△AOB∽△COD,且CD=2AB
∴CO=2AO
∴PE:EC="AO:CO" =1:2
∴PA∥EO
∵PA⊥底面ABCD,
∴EO⊥底面ABCD.
又EO在平面EBD内,
∴平面EBD垂直于平面ABCD
考点:本题主要考查了空间中体积和二面角的求解,以及面面垂直的证明的综合运用。
点评:解决该试题的关键熟练掌握几何体的结构特征,进而得到空间中点、线、面的位置关系,结合有关定理进行证明即可,并且也有利于建立空间之间坐标系,利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知正方形ABCD的边长为1,FD⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,FD=BE=1,M为BC边上的动点.试探究点M的位置,使F—AE—M为直二面角
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90º ,
∠BAA1=∠DAA1=60º ,求AC1的长。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为点G,点E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求证:AG∥平面PEC;
(2)求AE的长;
(3)求二面角E—PC—A的正弦值.(本题满分14分)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图如图所示,其中,,,求直角梯形以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积。
(2)定线段AB所在的直线与定平面α相交,P为直线AB外的一点,且P不在α内,若直线AP、BP与α分别交于C、D点,求证:不论P在什么位置,直线CD必过一定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,
总计耗用9.6米铁丝,再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)。
(Ⅰ)当圆柱底面半径取何值时,取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);
(Ⅱ)若要制作一个如图放置的,底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素)。
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