Question

【题目】在中，AB=AC.试求出应满足的一个充分必要条件，使得在的内部存在一个点，满足（1）；（2）.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图设以为半径，分别以、为圆心的两圆相交于另外一点，显然是等边三

角形，且，.

因为点在内，且，所以，点在弧上.

又，从而，.故.

设弧交于点，由以上的分析可知：

在内部存在一点，使得且的充分必要条件是，

线段的垂直平分线与弧的内部（不包括点）有交点，

即等价于的角平分线交弧的内部于一点.

考虑两个极端情形：

（i）与重合.这时，

(ii)角平分线与⊙相切于点.这时由及可得与的夹角为.

从而，，.

再由上述充分必要条件可知：

点存在

的角平分线交的内部于一点

(否则就不会有交点）.

因此所求的充分必要条件为.

注：我们可证明.

记，则

，，

所以，.

于是，垂直平分线段.

记，交于点.

由，可知

.

又，

故.

注：此题可利用“Femat点”求解，也可用“三角法”求解.