Question

已知下列两个命题：
p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是

a=2或a≤1

．

Answer 1

分析：根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出P为真命题时，实数a的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出Q为真命题时，实数a的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分P真Q假和P假Q真，两种情况讨论，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；
即a≤

x+1

x

=

x

+

1

x

恒成立；
由于

x

+

1

x

的最小值为2，
故P为真命题时，a≤2
q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．
表示以a为底的对数函数为增函数，且x²-ax+1＞0恒成立
即

a＞1 a2-4＜0

，解得1＜a＜2
故Q为真命题时，1＜a＜2
∵两个命题中有且只有一个是真命题，
当P真Q假时，a=2或a≤1
当P假Q真时，这样的a值不存在
故实数a的取值范围是a=2或a≤1
故答案为：a=2或a≤1

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题P和命题Q为真命题时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．