Question

已知数列{a_n}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S_n．
（1）求证：点，，…，在同一条直线l₁上；
（2）过点Q₁（1，a₁），Q₂（2，a₂）作直线l₂，设l₁与l₂的夹角为θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

解：（1）证明：因为等差数列{a_n}的公差d≠0，所以S_k=ka₁+，=a₁+d
当k≥2（k∈N）时，==d（d为常数），
所以P₂，P₃，…，P_n都在过点P₁（1，a）且斜率为常数的直线l₁上（k=2，3，…，n）．
（2）直线l₂的方程为y-a₁=d（x-1），直线l₂的斜率为d．分别设l₁与l₂的倾斜角为α和β，则θ=|β-α|，tanα=，tanβ=d，
则tanθ=|tan（β-α）|=||==≤=，当且经当=|d|即|d|=时取等号．
所以tanθ在|d|=2时的最大值为．
分析：（1）要证明这些点都在一条直线上，就要找出这些点都过一点和斜率固定的直线方程，根据等差数列{a_n}的前k项的和公式化简得到当k大于等于2时，经过计算得到每一个点与第一个点所求的斜率为定值，可得证；
（2）根据Q₁，Q₂的坐标表示出直线l₂，分别设l₁与l₂的倾斜角为α和β，则θ=|β-α|，两边都取正切，根据倾斜角的正切等于斜率及两角差的正切函数公式化简，利用基本不等式得到tanθ的最大值即可．
点评：本题是一道中档题，要求学生灵活运用等差数列的前n和公式化简求值，掌握直线的倾斜角与斜率的关系，会利用基本不等式求函数的最大值．