Question

3．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方
（1）求圆C的方程；
（2）设过点P（1，1）的直线l₁被圆C截得的弦长等于2$\sqrt{3}$，求直线l₁的方程；
（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；
（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点P（1，1）的直线l₁被圆C截得的弦长等于2$\sqrt{3}$，分直线l₁斜率存在与不存在两种情况求出直线l₁的方程即可；
（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x-1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k_AN=-k_BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．

解答 解：（1）设圆心C（a，0）（a＞-$\frac{5}{2}$），
∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r，即$\frac{|4a+10|}{5}$=2，
解得：a=0或a=-5（舍去），
则圆C方程为x²+y²=4；
（2）由题意可知圆心C到直线l₁的距离为$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
若直线l₁斜率不存在，则直线l₁：x=1，圆心C到直线l₁的距离为1；
若直线l₁斜率存在，设直线l₁：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
则有$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即k=0，此时直线l₁：y=1，
综上直线l₁的方程为x=1或y=1；
（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，
若x轴平分∠ANB，则k_AN=-k_BN，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-t}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}-t}$=0，
整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，即$\frac{2（{k}^{2}-4）}{{k}^{2}+1}$-$\frac{2{k}^{2}（t+1）}{{k}^{2}+1}$+2t=0，
解得：t=4，
当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．

点评 此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．