Question

（2009•普宁市模拟）如图抛物线x²=2py的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P（不过原点），做抛物线的切线分别交x轴、y轴于A、B两点．
（Ⅰ）求证：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若过F、A的直线交准线l于C，证明：四边形PFBC为菱形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求出F的坐标，设出p的坐标，利用导数求出PB的方程，求出A、B的坐标，即可证明|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若过F、A的直线交准线l于C，求出C的坐标，即可通过线段相等，与斜率关系证明：四边形PFBC为菱形．

解答：证明：（Ⅰ）抛物线x²=2py的焦点为F（0，

p

2

），准线为l：y=-

p

2

，过抛物线上一点P（a，b）（不过原点），做抛物线的切线，利用导数可得它的斜率为：

a

p

；切线方程为：y-b=

a

p

(x-a)，分别交x轴于A（a-

bp

a

，0），
y轴于B点（0，b-

a2

p

）．|PA|=

(a- bp a -a)2+b2

=

(bp) 2 a2 + b2

=

a2 4 +b2

，
|AB|=

(a- bp a )2+(b- a2 p )2

=

a2 4 +b2

；
所以：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）FA的方程：

x

a- bp a

+

y

p 2

=1，所以C的坐标（2a-

2bp

a

，-

p

2

），显然A是FC的中点，
|PF|=

(a-0)2+(b- p 2 )2

=

p

2

+b．
|FB|=

p

2

-b+

a2

p

=

p

2

+b．
所以四边形是邻边相等的平行四边形，所以是四边形PFBC为菱形．

点评：本题是中档题，考查抛物线的基本性质，导数的应用，两点间的距离公式，考查计算能力．