Question

已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图2-2-5所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0＜θ＜π).

(1)证明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.

             

                    图2-2-4                         图2-2-5

Answer 1

思路分析:本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.

(1)证明:E,F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点,

∴EB∥FD,且EB=FD,

∴四边形EBFD为平行四边形.∴BF∥ED.

∵ED平面AED，而BF平面ADE.∴BF∥平面ADE.

(2)解法一:

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.

∵△ACD为正三角形,

∴AC=AD.∴CG=GD.

∵G在CD的垂直平分线上,

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH⊥DE,所以∠AHD为二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方体的边长为2a,连结AF,

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

即△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AE·AD.

∴AH=a.∴GH=.

∴cosθ=.

解法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.

∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF,∴AG′⊥CD.

又AG′⊥EF且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,

∴AG′⊥平面BCDE.∴G′为A在平面BCDE内的射影G,

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上.

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH⊥DE,所以∠AHD为二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方体的边长为2a,连结AF,

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

即△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AE·AD,∴AH=a.

∴GH=.∴cosθ=.

解法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.

∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.∴CD平面BCDE.∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,

∴AG′⊥平面BCDE.∴G′为A在平面BCDE内的射影G,

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上.

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH⊥DE,所以∠AHD为二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方体的边长为2a,连结AF,

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

即△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AE·AD,∴AH=a.

∴GH=.∴cosθ=.