Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DC=2，DD1=

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，E是C₁D₁的中点，F是CE的中点．
（1）求证：EA∥平面BDF；
（2）求证：平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，从而证得EA∥平面BDF．
 （2）计算可得DE=DC=2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE．又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC．得到DF⊥平面BCE，
从而证得平面BDF⊥平面BCE．

解答：解：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，
又AE?平面BDF，OF?平面BDF，所以，EA∥平面BDF．
（2）计算可得DE=DC=2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE，
又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC，又BC∩CE=C，
所以，DF⊥平面BCE，又DF?平面BDF，
所以，平面BDF⊥平面BCE．

点评：本题考查证明线线平行、线面平行、面面垂直的方法，直线和平面平行的判定、性质，面面垂直的判定定理的应用，
证明DF⊥平面BCE，是解题的难点．