Question

已知函数f（x）=ax²+2lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是-2，求a的值；
（3）记g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，当a≤-2时，求证：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有|g（x₁）-g（x₂）|≥4|x₁-x₂|

Answer 1

解析：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）．．
当a≥0时，f^′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，令f^′（x）=0，则2ax²+2=0，所以，，（舍去）．
当时，f^′（x）＞0，故f（x）在上是增函数；
当时，f^′（x）＜0，故f（x）在上是减函数．
故当a≥0时，f（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的增区间是，减区间是．
（2）①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，故在（0，1]上的最大值为f（1）=a+2ln1=a=-2，显然不合题意；
②若，即-1≤a＜0时，（0，1]⊆，则f（x）在（0，1]上是增函数，故在（0，1]上最大值为f（1）=a=-2，不合题意，舍去；
③若，即a＜-1时，f（x）在上是增函数，在上为减函数，故在（0，1]上的最大值是，解得：a=-e，符合．
综合①、②、③得：a=-e．
（3）由g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，则g（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
则，当a≤-2时，g^′（x）＜0，故当a≤-2时，g（x）在（0，+∞）上为减函数．
不妨设x₂≥x₁＞0，则g（x₂）≤g（x₁），故|g（x₁）-g（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于g（x₁）-g（x₂）≥4（x₂-x₁），
即g（x₁）+4x₁≥g（x₂）+4x₂．
记h（x）=g（x）+4x，下面证明当x₂≥x₁＞0时，h（x₁）≥h（x₂）
由h（x）=g（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1得：
=≤0，
从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，故当x₂≥x₁＞0时，h（x₁）＞h（x₂），
即有：g（x₁）+4x₁≥g（x₂）+4x₂，
故当a≤-2时，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有|g（x₁）-g（x₂）|≥4|x₁-x₂|．
分析：（1）求出函数的导函数，对a≥0和a＜0进行分类，当a≥0时，导函数恒大于0，当a＜0时，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号，判断出原函数的单调性；
（2）根据（1）中求出的单调区间，判断出函数在（0，1]上的单调性，进一步求出函数在（0，1]上的最大值，由最大值等于-2求解a的值，符合条件保留，否则舍去；
（3）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，求出函数g（x）的导函数后，由a≤-2可知其导函数小于0，得到函数g（x）为定义域上的减函数，不妨规定x₁和x₂的大小，把要证的不等式取绝对值移向变形，使问题转化成证明一个函数的单调性问题，最后利用函数的导函数证明函数单调性．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的导函数分析函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想和数学转化思想，在（3）的证明过程中，构造函数是该题的难点．属难度较大的题目．