Question

在△ABC中，已知cos2C=-

1

9

，C为锐角．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为

5

，求c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出sinC的值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinC以及已知面积代入求出b的值，再由sinC的值求出cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，cos2C=1-2sin²C=-

1

9

，C为锐角，
∴sin²C=

5

9

，
则sinC=

5

3

；
（Ⅱ）∵a=2，S_△ABC=

5

，
∴

1

2

absinC=

5

3

b=

5

，即b=3，
∵sinC=

5

3

，∴cosC=

1-sin2C

=

2

3

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-12×

2

3

=5，
则c=

5

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．