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已知集合N={1,2,3,4,…,n},A为非空集合,且A⊆N,定义A的“交替和”如下:将集合A中的元素按由大到小排列,然后从最大的数开始,交替地减、加后续的数,直到最后一个数,并规定单元素集合的交替和为该元素.例如集合{1,2,5,7,8}的交替和为8-7+5-2+1=5,集合{4}的交替和为4,当n=2时,集合N={1,2}的非空子集为{1},{2},{1,2},记三个集合的交替和的总和为S2=1+2+(2-1)=4,则n=3时,集合N={1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和S3=    ;集合N={1,2,3,4,…,n}的所有非空子集的交替和的总和Sn=   
【答案】分析:根据“交替和”的定义:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和S3,再根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn即可.
解答:解:法(1):由题意,S1=1=1×2,S2=4=2×21
当n=3时,S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12=3×22
当n=4时,S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(3-2)+(4-2)+(4-3+2)+(3-2+1)+(4-3+2+1)=32=4×23
∴根据前4项猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n•2n-1
法(2):同法(1)可得S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12,
对于集合N={1,2,3,4,…,n},分析可得其共有2n个子集,
将其子集分为两类:第一类包含元素n,第二类不包含元素n,其余的元素相同;
这两类子集可建立一一对应关系,如{1,n}和{1},{n}和空集,…
共有2(n-1)对这样的子集,
对于每一对这样的子集,如A和B,
∵n大于B中任意元素,
∴如果子集B的交替和为b,则子集A的交替和为n-b
这样,A与B的交替和 之和为n,
则Sn=n•2n-1
故答案为:12,n•2n-1
点评:本题考查新定义,考查数列的应用,同时考查了归纳推理的能力,属于中档题.
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;集合N={1,2,3,4,…,n}的所有非空子集的交替和的总和Sn=
n•2n-1
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