Question

4．设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（$\frac{1}{2}$）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x²的解集为（0，$\sqrt{e}$）．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（$\frac{1}{2}$），运用单调性，可得lnx＜$\frac{1}{2}$，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：可构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）•{e}^{2x}-2f（x）•{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．
不等式f（lnx）＜x²即为$\frac{f（lnx）}{{x}^{2}}$＜1，（x＞0），即$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1，x＞0．
即有F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{e}$=1，即为F（lnx）＜F（$\frac{1}{2}$），
由F（x）在R上递增，可得lnx＜$\frac{1}{2}$，解得0＜x＜$\sqrt{e}$．
故答案为：（0，$\sqrt{e}$）．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于难题．