Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E，F为PD的两个三等分点．
（Ⅰ）求证BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面PCD，求证：PC⊥CD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结BD，AC相交于O，证明BE∥OF，即可证明BE∥平面ACF；
（Ⅱ）过A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性质证明AH⊥平面PCD，从而证明AH⊥CD，然后利用线面垂直的性质证明PC⊥CD．

解答：解：（Ⅰ）连接BD、AC，两线交于O，
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），
∵F是DE的中点（由三等分点得到），
∴OF是△DEB的中位线，
∴BE∥OF，
∵OF?面ACF，BE?面ACF，
∴BE平行平面ACF．
（Ⅱ）过A作AH⊥PC于H，
∵平面PAC⊥平面PCD，
∴AH⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，
∴AH⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵PA∩AH=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴PC⊥CD．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂直的性质应用，综合性较强．