Question

已知椭圆C的中心在原点，离心率等于

2 5

5

，一条准线方程为x=

5

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P在该椭圆C上，F₁，F₂是椭圆C的左右焦点，若

PF1

+

PF2

与向量（5，1）共线，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据准线方程和离心率求得a和c的关系，联立方程求得a和b，则椭圆的方程．
（Ⅱ）设出P的坐标，根据F₁和F₂，表示出

PF1

+

PF 2

，利用题设条件求得x和y的关系，代入椭圆方程求得y，进而求得P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
依题意可知

a2 c =  5 2 c a = 2 5 5

，求得a=

5

，b=1
∴椭圆的方程为

x2

5

+y2=1，
（Ⅱ）设P（x，y），
∵F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴

PF1

+

PF 2

=（-2x，-2y）
∵

PF1

+

PF2

与向量（5，1）共线，
∴x=5y，由

x2

5

+y2=1，求得y=±

6

6

故点P（

5 6

6

，

6

，6

），（-

5 6

6

，-

6

，6

）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．